De abacus — Kralenrekenmachine van het Oosten
Door Ontwaakt!-correspondent op Taiwan
WIJ bevinden ons in Japan; in een plaatselijke winkel heeft een vrouw net enkele dingen gekocht. „Hoe veel is het?” vraagt zij. De Japanse winkelier pakt zijn abacus en met een vlugge kanteling en een streek van de hand worden de vorige berekeningen eraf „geveegd”. Dan noemt hij zo snel als hij kan de afzonderlijke prijzen en telt ze met dezelfde snelheid op. Op het moment dat hij de laatste prijs heeft genoemd, leest hij het totaalbedrag af. De vrouw betaalt zonder te vragen. Voor haar is een berekening met de abacus even betrouwbaar als met een kasregister.
Een reiziger besluit bij een bank in Tokio al zijn zakgeld in te wisselen tegen yens. Hij heeft ƒ 153,60. De employé haalt zijn abacus te voorschijn en binnen de tijd die ervoor nodig zou zijn om alles voor de berekening op papier te zetten, heeft hij de uitkomst. De westerling, die de goed geoutilleerde bank rondkijkt, weet misschien niet goed hoe hij het heeft. Hoewel er veel moderne kantoormachines staan, doet driekwart van het personeel alle berekeningen op de abacus.
Ja, waar men ook in China of Japan komt, overal zal men de mensen deze Oosterse vorm van de oudste rekenmachine, de abacus, nog volop zien gebruiken. Als de westerling ziet hoe winkeliers hem alleen maar gebruiken om een paar cijfers op te tellen, is hij misschien geneigd de werkelijke waarde van de abacus sterk in twijfel te trekken. Misschien denkt hij wel: „Waarom rekenen zij niet uit het hoofd, in plaats van zich zo op hun telraam te verlaten?” Tenminste dat dacht ik zelf toen ik voor het eerst naar Japan ging en zag hoe afhankelijk de mensen van hun kralenrekenmachine schenen te zijn.
Als iemand echter ziet hoe kantoorbedienden en kassiers bij een bank de abacus gebruiken voor het uitwerken van ingewikkelder problemen, zal hij er ongetwijfeld meer respect voor krijgen. Als hij ernaar vraagt, wordt hem misschien verteld dat de rekenaar in die korte tijd niet alleen het vraagstuk heeft berekend, maar het ook nog heeft gecontroleerd door de omgekeerde rekenkundige bewerkingen uit te voeren ten einde de oorspronkelijke getallen terug te krijgen. „Werkelijk verbazingwekkend!” zal hij denken. En dat alles met een houten raampje voorzien van wat kralen?
Vanaf de oudheid tot de tegenwoordige tijd
De abacus is een van de oudste aan de mens bekende rekenapparaten. Zo werd hij bijvoorbeeld reeds door de oude Grieken en Romeinen gebruikt. Daar de Romeinse cijfers geen positiewaarde hebben en het Romeinse cijferstelsel ook geen symbool voor de nul kent, had men bij het rekenen het een of andere hulpmiddel nodig. Als u de Romeinse getallen XCVIII en LXXXIX probeert op te tellen zult u het probleem beter begrijpen. En als u deze getallen tracht te vermenigvuldigen, zal het u nog duidelijker worden. De ontwikkeling van de ’Arabische’ getallen met hun positiewaarde en aanduiding voor de nul, verkleinde in het Westen de noodzaak van het gebruik van de abacus.
De abacus vond echter bij de Chinezen en Japanners een nieuw gastvrij onderkomen. Maar zelfs in het Westen is er nog een eenvoudige vorm van de abacus overgebleven, waar veel personen bekend mee zullen zijn. Ja, misschien heeft ook u met behulp van een dergelijk abacus-achtig instrument voor het eerst kennis gemaakt met de getallen. Over de hele wereld kunt u ze aan veel babyboxen vinden; ze bestaan uit enkele horizontale staafjes met gekleurde kralen.
De Chinese abacus wordt suan-pan genoemd, terwijl de Japanse vorm bekendstaat onder de naam soroban. De Oosterse abaci hebben verticale staven die door een dwarsbalk in tweeën worden verdeeld, waarbij de kralen boven de dwarsbalk vijf maal de waarde hebben van de kralen op dezelfde staaf onder de balk. Merk in de tekening op dat de Chinese suan-pan twee kralen boven de dwarsbalk heeft en vijf eronder. De moderne Japanse soroban daarentegen heeft één kraal boven en vier kralen onder de balk.
Er bestaan tussen de Japanse en Chinese abacus essentiële verschillen in vorm en grootte. Het Japanse type heeft kleinere kralen en gewoonlijk meer staven. De Chinese abacus heeft grotere kralen en minder staven. De Japanse abacus is daarom lang en smal, terwijl de Chinese niet zo lang is. Doordat het Japanse instrument kleiner van bouw is, kan men er sneller mee werken, terwijl de Chinese abacus het voordeel heeft dat de grotere bouw het minder waarschijnlijk maakt dat de kralen de verkeerde kant opschuiven en men hem beter kan aflezen. Hier op Taiwan bestaat op het ogenblik echter de tendens om over te stappen op het Japanse type.
De grondbeginselen leren
Ik besloot de eerste beginselen van het werken met een abacus te gaan leren. Ik kocht een Japans exemplaar van standaardafmeting, zes centimeter breed en dertig centimeter lang. De prijs kwam overeen met ƒ 7. Op de balk staat bij bepaalde staven een punt. De rekenaar kiest een van deze staven uit als de staaf voor de eenheden. De staaf links ervan is de staaf voor de tientallen, de daaropvolgende naar links de staaf voor de honderdtallen en de derde naar links de staaf voor de duizendtallen.
Naar rechts is de waarde van een kraal een tiende van de kralen op de voorgaande staaf, zodat de kralen aan de rechterstaven overeenkomen met tienden, honderdsten, duizendsten, enzovoort. Het geheel werkt dus volgens het decimale systeem.
Men legde mij uit dat de abacus wordt „schoongeveegd” door hem naar je toe te kantelen, zodat alle kralen naar de onderkant van de staven of — in het geval van de bovenste kralen — naar de dwarsbalk glijden. Dan worden de bovenste kralen, door met een snelle streek van de nagel van de wijsvinger langs de onderkant van de kralen te gaan, naar boven geschoven.
Als u nu één kraal op de staaf voor de eenheden naar boven duwt tot hij tegen de dwarsbalk aankomt, heeft u het getal één op de abacus vastgelegd. Als u nu nog twee kralen naar boven duwt, zodat u drie benedenkralen tegen de balk aan hebt, staat het getal drie op de abacus.
Schuif nu de bovenste kraal naar beneden (deze heeft vijfmaal de waarde van een kraal onder de balk), en u heeft vijf opgeteld. Dat betekent dat u nu de waarde vijf boven de dwarsbalk en de waarde drie eronder hebt staan, zodat het totaal acht is. Als u nu nog eens drie erbij wilt tellen, heeft u op de staaf voor de eenheden niet genoeg kralen meer, dus moet u overstappen op de staaf voor de tientallen. Nu moet u niet denken aan 8 + 3 = 11, maar u moet denken in de richting van 3 = 10 – 7. U haalt zeven weg door de vijf-kraal naar boven en twee één-kralen naar beneden te schuiven. Tel dan tien op (dat wil zeggen, u schuift één kraal op de staaf links van de staaf voor de eenheden, naar boven), en het resultaat is elf, zoals in de tekening wordt getoond. Er zijn natuurlijk veel manieren waarop men kan uitleggen hoe deze schuifregels uitgevoerd moeten worden, maar in de praktijk worden het automatische handelingen.
Hoe gaat men te werk bij grotere getallen? U begint bij de meest linkse of hoogste kolom die u in uw berekening nodig hebt en werkt dan van links naar rechts. Als u dus 637 bij 548 wilt tellen, legt u eerst het getal 548 op uw rekenmachine vast. Tel dan zes bij vijf op, waarbij u weer denkt aan de regel of methode 6 = 10 – 4. U schuift nu de 5-kraal op de staaf met de honderdtallen weg en voegt of telt er op dezelfde staaf een 1 bij (–5 + 1 = –4); dan gaat u naar links, naar de staaf voor de duizendtallen en u schuift of telt er één kraal bij. Zo gaat u verder, u telt de drie bij de vier, de zeven bij de acht en uw abacus zal er ten slotte uitzien als op de tekening. Kunt u het antwoord lezen? Het is 1185.
Omdat men dus van links naar rechts werkt kan er zodra het eerste cijfer bekend is, met de berekening worden begonnen. Bij hoofdrekenen of het rekenen op papier wordt er bij het uitwerken van een vraagstuk met de getallen aan de rechterkant, met de eenheden, begonnen. Het rekenen op de abacus gaat dus wat dat betreft sneller.
Het geleerde in praktijk brengen
Ik leerde optellen en aftrekken, en later, toen ik meer optelwerk moest verrichten, besloot ik het geleerde in praktijk te brengen. Soms waren de resultaten teleurstellend en andere keren weer aanmoedigend. Ik besloot na te gaan hoe dat kwam.
De bestudering van een boekje over de techniek van het rekenen op de abacus maakte mij duidelijk dat ik geen systeem had en dat ik mijn vingers niet op de juiste manier gebruikte. Ik leerde dat men bij de Japanse abacus alleen maar de wijsvinger en duim mag gebruiken en dat het voor het verhogen van de snelheid en het verbeteren van de nauwkeurigheid nodig is een bepaalde volgorde bij het schuiven van de kralen aan te houden. Bij de Chinese abacus wordt aangeraden er nog een vinger bij te nemen omdat hij groter van formaat is.
Met wat studie en oefening is mijn nauwkeurigheid zo verbeterd dat een vriend die mij pas van overzee kwam bezoeken, verbaasd was om mij als westerling mijn kleine Oosterse kralenrekenmachine niet alleen voor optellen en aftrekken te zien gebruiken, maar ook voor vermenigvuldigen en delen. Natuurlijk ben ik in de verste verte geen geoefend rekenaar op de abacus en daarom ben ik, gemeten naar Japanse en Chinese maatstaven, erg langzaam; maar daar ik anders de getallen in kolommen zou moeten opschrijven en moeizaam zou moeten gaan zitten optellen, spaart het werken met de abacus mij toch veel tijd.
Het voor en tegen
Een bijkomend voordeel van de abacus is dat de onderhoudskosten in overeenstemming zijn met de aanschaffingskosten. Nog niet zo lang geleden was mijn abacus zo kleverig geworden dat het rekenen erop een probleem werd. Ik had me erbij neergelegd dat ik een nieuwe zou moeten kopen. Toen ik naar de winkel ging om een te kopen, vertelde ik wat mijn probleem was. „Ja, dat komt meer voor”, zei de eigenaar, „maar daarvoor hebben wij een onderhoudsborstel.” Ik kocht er een voor minder dan zeventig cent. De borstel zat aan de bovenkant aan een, op een zoutstrooier gelijkende plastic houder vast. De houder bevatte kleermakerskrijt. Gaatjes tussen de borstelharen zorgen ervoor dat bij het gebruik van de borstel wat kalk vrijkomt. Een paar streken met de borstel en mijn abacus was weer als nieuw; de kraaltjes schoven weer makkelijk klikkend heen en weer. Wat een verschil met het onderhoud van een elektrische rekenmachine!
Er zijn natuurlijk ook een aantal nadelen aan de abacus verbonden. Een van deze nadelen is dat men niet meer de tussenliggende stappen van een berekening kan nagaan. Als de berekening klaar is, kan men alleen het antwoord aflezen. Ook is er enorm veel oefening vereist wil men enige vaardigheid verkrijgen. Omdat ik niet zoveel oefen en bijna nooit ingewikkelde berekeningen uitvoer, heb ik nog wel eens moeilijkheden met het vermenigvuldigen en delen, vooral als de vermenigvuldiger of de deler uit veel cijfers bestaat.
Er zijn veel mensen, zelfs nog in deze eeuw van elektronika, die zich een Oosterse abacus aanschaffen. Alle Japanse en Chinese kinderen op de lagere school leren er op rekenen. Ook zijn er een groot aantal scholen die hun leerlingen voorbereiden op de examens die regelmatig in Japan worden gehouden. Er zijn drie belangrijke graden, en als iemand een eerste-graads rekenaar op de abacus is, heeft hij een veel grotere kans een goede kantoorbaan te krijgen. Dit is zelfs het geval als de firma in het bezit is van de modernste rekenmachines.
De abacus geniet ook grote populariteit omdat het gebruik ervan een goede training vormt voor het verstand. Dat dit zo is, blijkt wel uit wat men over de abacus-rekenaar Dhr. Josjio Kojima bericht; men vertelt dat hij in één minuut en 18,4 seconden het juiste antwoord gaf op vijftig delingen, elk met een deler en deeltal bestaande uit vijf tot zeven cijfers. Toen telde hij in 13,6 seconden tien getallen op die elk uit tien cijfers bestonden. Hij deed dit alles zonder zijn abacus, zonder papier of welk ander hulpmiddel maar ook! Men zegt dat zulke mensen de vraagstukken in hun geest op een denkbeeldige abacus uitrekenen!
Hoewel de abacus in China en Japan enig terrein verliest aan de ingewikkelder rekenmachines, speelt hij in de Oosterse zakenwereld nog altijd een belangrijke rol. Ongeacht welke toekomst de abacus te wachten staat, dit gereedschap voor de zakenmensen in het Oosten en opvoedkundig speelgoed voor de kinderen in het Westen, neemt in de geschiedenis van de wiskunde een unieke plaats in.
[Illustratie op blz. 18]
Het getal elf op een Chinese abacus
[Illustratie op blz. 19]
Het getal 1185 op een Japanse abacus