Hoe waarschijnlijk is een „kans”?

MIDDEN in de lucht scheurt door een mysterieuze oorzaak de achterdeur van het lijntoestel open, waardoor de luchtdruk in de cabine plotseling daalt en er 300 mensen om het leven komen wanneer de luchtreus als een brandend wrak naar de aarde stort. Wat is de kans — de waarschijnlijkheid — dat u in dat vliegtuig had gezeten?

Of veronderstel u hebt de hele avond bridge gespeeld zonder een schoppenaas in handen te hebben gekregen. Hoe groot is de kans dat u deze kaart bij de volgende maal uitdelen krijgt?

Of neem de student die in de collegezaal zit en zijn hoogleraar hoort zeggen: „Volgens de wet van de grote getallen moet de evolutie hebben plaatsgevonden . . .” Maar, zo vraagt de student zich af, „is dat zo?”

„Kans” — vaak gebruiken we dat woord om er een gunstige gelegenheid mee aan te duiden, en natuurlijk is dat juist. Maar zoals uit bovenstaande voorbeelden blijkt, heeft het woord kans nog een andere betekenis. Het doet ons denken aan het onderwerp waarschijnlijkheid. Dit onderwerp is niet alleen voor wiskundigen interessant, ook al kunnen zij de technische details van het onderwerp vaak meer waarderen dan anderen, maar voor iedereen.

Waarschijnlijkheid leren van een munt

Laten we, om wat meer begrip te krijgen van de toepassing van de leer der waarschijnlijkheid of kansrekening, beginnen op fundamenteel niveau.

Wip een munt in de lucht. Wat zal bovenkomen: kruis of munt? Geen mens kan dat feilloos voorspellen. Gooi de munt tienmaal achtereen op. Hoe vaak zal kruis bovenkomen? Opnieuw, dat kan niemand vertellen.

Maar veronderstel u neemt er de tijd voor af om de munt twee miljoen maal op te gooien. Hoe vaak zal hij dan met kruis boven neerkomen? Ongeveer één miljoen maal. Ja, om voor de mens niet geheel verklaarbare reden zal de munt op de lange duur de helft van het aantal keren met kruis boven neerkomen.

Maar bij een korte proef zult u natuurlijk nooit met zekerheid kunnen zeggen wat boven zal komen: kruis of munt. Misschien gooit u zeven van de tien keer kruis. Maar de volgende keer kan het best zeven keer munt worden. Hoe vaker u echter opgooit, hoe dichter u bij het natuurlijke gemiddelde van 50 percent kruis en 50 percent munt zult komen. Dit wordt „de wet van de grote getallen” genoemd.

Bij elke opgooi echter blijft de kans om kruis te gooien, één op de twee. En bij de tweede opgooi is die kans weer precies hetzelfde: één op de twee. En ook telkens daarna wanneer u opgooit, blijft die kans bij één opgooi één op de twee. De munt heeft geen geheugen ziet u. Maar veronderstel nu dat iemand drie keer achter elkaar kruis wil gooien en geen munt. Wat is daarop de kans?

Vermenigvuldig eenvoudig de kans die er bij elke worp bestaat om kruis te gooien. Bij één worp is de kans om kruis te gooien, één op de twee, ofte wel 1/2. Bij twee worpen is de kans om alleen kruis te gooien, 1/2 maal 1/2, ofte wel één op de vier. De kans op driemaal achtereen kruis is 1/2 maal 1/2 maal 1/2, ofte wel één op de acht, enzovoort, Dit was waarschijnlijkheid met een munt. Maar zo zijn er nog tal van andere situaties waarbij deze wiskundige basiswetten zich in uw leven laten gelden.

De kans bij gokken, verzekeringen en vliegen

Ten eerste kan een basisbegrip van de wet van de grote getallen u behoeden voor de naïeve denkwijze dat u door gokken werkelijk kunt winnen. Op de lange duur kan dat namelijk niet.

In een casino staat misschien een roulette-schijf met een serie van afwisselend zwarte en rode nummers, 1 tot en met 36; er is ook een witte nul (0) en een dubbele nul (00). De bedoeling is dat u op een van die nummers wedt en als u wint, krijgt u van het casino vijfendertig maal zoveel uitbetaald als u op dat nummer had ingezet. De waarschijnlijkheidsrekening onthult u echter dat dit een slecht risico is.

Om dit in te zien, moet u zich voorstellen dat u op elk van de 38 nummers één gulden inzet. U kunt slechts met één van de nummers winnen, en dus krijgt u voor uw investering van ƒ 38 slechts ƒ 35 terug, plus nog de oorspronkelijke gulden die u op het winnende nummer had ingezet. Dat is dus in totaal ƒ 36, en het verschil van ƒ 2 dat u verloren hebt, meer dan 5 percent, gaat de kas van het casino in. Daarvan kan het blijven bestaan, zijn werknemers betalen en een leuke aankleding bekostigen. Natuurlijk kan een klant het treffen dat hij op een winnend nummer heeft ingezet en daardoor op één avond enkele duizenden guldens rijker wordt. En dat overkomt hem misschien ook nog wel op twee, drie of vier andere avonden. Maar de beheerders van het casino weten dat zij op de lange duur toch moeten winnen. Volgens de wetten van de waarschijnlijkheid ligt het toeval meer dan 5 percent ten gunste van hen. Neen, op de lange duur kunt u niet werkelijk winnen.

De wet van de grote getallen helpt ook verzekeringsmaatschappijen om hun premies vast te stellen. Een klant betaalt geregeld een betrekkelijk lage som aan een maatschappij en deze betaalt op haar beurt bij verlies, schade of gemis een relatief groot bedrag aan haar cliënt terug. De verzekeringsmaatschappijen weten uit ervaring dat ze niet al hun klanten zullen hoeven te betalen. Hoe kunnen ze daar zo zeker van zijn?

Wel, neem bijvoorbeeld levensverzekeringsmaatschappijen. Deze bestuderen de bevolkingsstatistieken van duizenden mensen en bepalen welk percentage van elke leeftijdsgroep jaarlijks sterft. Kennis van dit percentage is de basis waarop ze voor elke leeftijdsgroep de te betalen premie vaststellen; slechts een bepaald percentage van de verzekeringen, zo blijkt uit de statistieken, zal in de loop van de jaren in wisselende hoeveelheden moeten worden uitbetaald.

Wanneer iemand echter een speciale verzekering verlangt — een danseres bijvoorbeeld die haar benen wil laten verzekeren — dan zal zo iemand een veel hogere premie moeten betalen. Waarom? Omdat er slechts een paar van zulke gevallen zijn; de wet van de grote getallen gaat dan maar in beperkte zin op. Voor de verzekeringsmaatschappij is het risico veel groter. Het is hetzelfde als met het opgooien van een munt. Wanneer de verzekeringsmaatschappij bij wijze van spreken duizenden malen de munt kan opgooien, liggen de kansen in haar voordeel. Maar wanneer er slechts één keer wordt geworpen, is het risico veel groter. En derhalve zijn ook de premies veel hoger.

Concludeer nu niet dat een verzekering afsluiten hetzelfde is als gokken; alleen de wetten die op beide terreinen gelden, zijn hetzelfde. Bij gokken kunt u winnen, of u nu wel of geen geld nodig hebt. Maar bij een verzekering „wint” u slechts om een verlies van uw zijde te dekken.

Werkelijk, voor de gemiddelde gokker betekent „kans” gewoonlijk niets anders dan blind „toeval”. Hij weet misschien niets af van een wet van de grote getallen, maar koestert slechts de grote hoop dat eens de goede combinatie zich zal voordoen wanneer hij aan het spelen is.

Een nauwkeurige kennis van de kanswetten zal het u ook heel wat rustiger te moede maken wanneer u aan boord van een vliegtuig stapt. In 1973 werden er door Amerikaanse vliegtuigen meer dan 41 miljoen lijnvluchten uitgevoerd. Er deden zich drie vliegtuigongevallen met fatale afloop voor. Dat betekent één vliegramp op 1 1/2 miljoen vluchten. Telkens wanneer iemand in een vliegtuig stapte, lag de kans precies gelijk: de waarschijnlijkheid dat hij met dat vliegtuig zou neerstorten, was één op 1.500.000.

Na nauwkeurig gerekend te hebben, zou iemand kunnen redeneren dat de eerste van die drie ongevallen tegen het eind van zo’n anderhalf miljoen succesvolle vluchten moet plaatsvinden, ofte wel na ongeveer vier maanden, en het kunnen vermijden om dan in een vliegtuig te stappen. In werkelijkheid echter vonden alle drie de fatale vluchten in 1973 plaats binnen een periode van 9 dagen in juli.

Stel nu eens dat er zich een zelfde percentage vliegtuigongelukken blijft voordoen. Dan nog kan niemand zeggen wanneer ze zullen voorvallen. Zullen er twaalf vliegtuigen op één dag verongelukken, waarna er vier jaar niets gebeurt? Wie zal het zeggen?

U kunt derhalve vol vertrouwen aan boord van een vliegtuig stappen zonder bang te hoeven zijn dat een fatale „wet van de grote getallen” aan het werk is om u straks naar beneden te laten storten.

Is de evolutie waarschijnlijk?

Een begrip van de elementaire beginselen der waarschijnlijkheid zoals we die hierboven hebben geschetst, zal ons ook helpen in te zien hoe onjuist het is te denken dat de kansrekening het toevallig ontstaan van leven en het evolueren daarna tot de diverse levensvormen die nu de aarde bevolken, waarschijnlijk stelt.

Men zou kunnen denken: Als alle chemische „ingrediënten” die nodig zijn voor een toevallig ontstaan van leven gedurende een voldoend lange tijdsperiode maar op genoeg verschillende manieren door elkaar zijn gemengd, moet dat uiteindelijk toch tot leven hebben geleid. Wel, om te beginnen moet er dan natuurlijk iemand of iets zijn geweest die dat mengen tot stand heeft gebracht. Maar laten we voor het gemak dat noodzakelijke aspect maar even voorbijzien en het volgende beschouwen: In één cel spelen zich duizenden kleine moleculaire en chemische reacties af. En een mens bestaat uit biljoenen cellen, sommige met een zeer gespecialiseerde functie. De kans dat deze reacties door een onopzettelijke mixing zijn begonnen en geëvolueerd, is ontzaglijk klein.

Laten we om te illustreren wat we bedoelen, een spel speelkaarten nemen.

Veronderstel u speelt bridge. Wat is de kans dat u bij het uitdelen alle 13 schoppen uit een spel van 52 kaarten in handen krijgt? De kans dat uw eerste getrokken kaart een schoppen is, is kennelijk 13/52. Van de overgebleven 51 kaarten zijn er twaalf schoppen, en dus wordt de volgende kans op schoppen 12/51. En zo gaat het door: 11/50, 10/49, tot aan de kans van 1/40 voor de laatste kaart toe. Vermenigvuldig al deze kansen met elkaar en u zult ontdekken dat de kans om alle 13 schoppen toebedeeld te krijgen, gelijk staat aan één op meer dan 635.000.000.000.

En bedenk dat we slechts bezig zijn geweest met een pak speelkaarten van 52 stuks.

Verder hebben we ook nog niet geëist dat ons de schoppen-kaarten in hun juiste numerieke volgorde zullen worden overhandigd. Dat vereiste zou de waarschijnlijkheid nog een fiks aantal malen verkleinen. Ja, de kans op een juiste eerste kaart zou dan 1/52 zijn en niet 13/52. En als inderdaad die eerste kaart juist was, zou de kans op de volgende juiste kaart niet 12/51 maar 1/51 zijn; de kans op de daaropvolgende 1/50 (niet 11/50), enzovoort. De totale waarschijnlijkheid om alle schoppen in de juiste volgorde te trekken, zou het resultaat zijn van al deze waarschijnlijkheden, die we met elkaar moeten vermenigvuldigen: 1/52 x 1/51 x 1/50 x 1/49 x 1/48 x 1/47 x 1/46 x 1/45 x 1/44 x 1/43 x 1/42 x 1/41 x 1/40. Wat voor kans geeft dat?

Een kans van één op de ongeveer 4.000.000.000.000.000.000.000.

Dat is de kans voor slechts dertien „ingrediënten” om in juiste volgorde op te treden. En vergeet niet dat dan volgens deze argumentatie elk ingrediënt al bestaat, en ook nog enigszins in de juiste hoeveelheid. Met andere woorden, we zeggen dat het spel kaarten al bestaat voordat we beginnen.

Nog iets anders: voor de voortzetting van het leven zijn twee geslachten nodig. Hetzelfde vormingsproces moet zich dus niet eenmaal maar tweemaal voltrekken. Wat is de kans om tweemaal achtereen alle schoppen in juiste numerieke volgorde uit een spel kaarten te trekken? Om aan die kans te komen, moeten we het bovenstaande getal niet bij zichzelf optellen, maar met zichzelf vermenigvuldigen. De kans wordt dan één op de 16.000.000. . . . (40 nullen totaal).

Natuurlijk is er bij de functionering van twee levende menselijke wezens heel wat meer betrokken dan de rangschikking van dertien „ingrediënten”. Maar vormt dit er geen levendige illustratie van hoe onnoemlijk klein de kans is dat leven ooit bij toeval is ontstaan en daarna een evolutionaire ladder is beklommen?

Die kans is in feite zo gering dat zelfs doorgewinterde evolutionisten erkennen dat ze ongeloofwaardig is. Julian Huxley schreef bijvoorbeeld in dit verband: „Een weinig rekenen toont al aan hoe ongelooflijk onwaarschijnlijk de resultaten van natuurlijke selectie kunnen zijn wanneer er voldoende tijd beschikbaar is.” Wat is de kans, zo vraagt hij, dat een paard louter bij toeval zou zijn ontstaan? In zijn antwoord heeft Huxley het over „de fantastische kans om in een afstammingslijn louter bij toeval een aantal gunstige mutaties te krijgen” en dan voegt hij eraan toe hoe klein die kans wel is: De kans van een op de „duizend tot de miljoenste macht [1000^1.000.000], hetgeen, wanneer uitgeschreven, het cijfer 1 is met drie miljoen nullen erachter; drie dikke boekdelen van 500 bladzijden elk zouden nodig zijn om dat getal af te drukken! In feite is dit een zinloos hoog cijfer, maar het toont wel aan hoe groot de onwaarschijnlijkheid is die de natuurlijke selectie moet overbruggen . . . Een één met drie miljoen nullen erachter is de mate van onwaarschijnlijkheid van een paard — de kans waartegen het is ontstaan. Niemand zou op het gebeuren van zo iets onwaarschijnlijks wedden.”

Niettemin draait Huxley de zaak om en komt tot de ongeloofwaardige uitspraak: „En toch is het gebeurd.” Hoe logisch klinkt u dat in de oren? Als iemand in zulke kansen wil geloven, is dat natuurlijk zijn eigen dwaze beslissing. Maar dat de bewijslast, de kansrekening, op zijn hand is, kan hij niet zeggen.

Of duidt de „waarschijnlijkheid” op een Ontwerper?

Hebt u aan de andere kant niet altijd geweten dat leven komt van ander leven? Zeker. Uw eigen ervaring wijst er dus al op dat volgens „alle kansen” het leven begonnen moet zijn door een levende Schepper. In deze opvatting wordt u volkomen gesteund door de leer van de waarschijnlijkheid. Waarom zeggen wij dit?

Omdat de waarschijnlijkheidsleer zelf duidt op een ontwerp. De wetten van de waarschijnlijkheid die we slechts heel gedeeltelijk en terloops hebben beschouwd, vormen de basis van vrijwel elke wetenschappelijke gedachte. De mens stelt een rotsvast vertrouwen in deze onbezielde wetten. Ze zijn zo constant dat we er volgens de woorden van de geleerden „geloof” in kunnen stellen. Moeten we nu geloven dat zulke wetten louter bij toeval zijn ontstaan? Of ontstaan wetten door wetgevers? Stellig wijzen de feiten, de kanscijfers, op een Ontwerper van de wiskundige wetten. Als bovendien deze en andere wetten betreffende de stoffelijke schepping zo constant en onveranderlijk zijn, dan moet de Schepper dat ook zijn.

Het is een waar genoegen een beter begrip te krijgen van de precieze werking van wetten als die van de waarschijnlijkheid. Maar hij die werkelijk onderscheidingsvermogen bezit, verlangt meer dan dat genoegen. Hij wil ook Degene leren kennen die die wetten heeft ontworpen. Een dergelijke ervaring kan nog oneindig veel aangenamer zijn.

[Illustratie op blz. 23]

De onwaarschijnlijkheid dat de evolutie een paard kan hebben voortgebracht, staat gelijk aan een getal waarmee drie dikke boekdelen gevuld kunnen worden. Stelt u geloof in zo’n onnoemelijk kleine kans?