Πόση Τύχη Υπάρχει στην “Τύχη”;

Η ΠΙΣΩ πόρτα ενός τεράστιου αεροπλάνου ανοίγει μυστηριωδώς, ο θάλαμος χάνει τη σταθερή ατμοσφαιρική πίεσι και το αεροπλάνο πέφτει φλεγόμενο στη γη όπου συντρίβεται φονεύοντας 300 ανθρώπους. Ποιες είναι οι πιθανότητες να ήσαστε σ’ αυτό το αεροπλάνο;

Ή, υποθέστε ότι παίζετε μπριτζ όλο το βράδυ χωρίς ούτε μια φορά να πιάσετε στα χέρια σας τον άσσο σπαθί. Ποιες είναι οι πιθανότητες να πάρετε αυτό το χαρτί στο επόμενο μοίρασμα;

Υπάρχει, επίσης, ο φοιτητής που κάθεται στην πανεπιστημιακή αίθουσα και ακούει έναν καθηγητή να λέγη: «Σύμφωνα με τον νόμο των πιθανοτήτων, η εξέλειξις έπρεπε να συμβή . . . » Αλλά, ο μαθητής ρωτά, «Συνέβη;»

«Τύχη»—συχνά χρησιμοποιούμε αυτή τη λέξι στην περίπτωσι ενός τυχαίου συμβάντος και πραγματικά εφαρμόζεται σωστά μ’ αυτόν τον τρόπο. Αλλ’ όπως δείχνουν αυτά τα παραδείγματα, έχει μια άλλη έννοια. Φέρνει στο νου το ζήτημα της πιθανότητος. Αυτό το ζήτημα δεν αφορά τους ειδικούς των μαθηματικών, μολονότι ιδιαίτερα αυτοί αγαπούν τις περιπλοκότητες περισσότερο από άλλους.

Μαθαίνομε την Πιθανότητα από ένα Κέρμα

Για ν’ αντιληφθούμε τις εφαρμογές της πιθανότητος, ας την εξετάσωμε στο βασικό της στάδιο.

Πετάξτε ένα νόμισμα στον αέρα. Θα έλθη κορώνα ή γράμματα; Κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να το προβλέψη αλάνθαστα. Πετάξτε το νόμισμα δέκα φορές. Πόσο συχνά θα έλθη κορώνα; Πάλι, κανένας άνθρωπος δεν μπορεί να το προβλέψη.

Αλλ’ ας υποθέσωμε ότι έχετε χρόνο να πετάξετε το νόμισμα δύο εκατομμύρια φορές. Τότε, πόσες φορές θα έλθη κορώνα; Περίπου ένα εκατομμύριο. Πράγματι, για λόγους που δεν μπορούν να εξηγηθούν πλήρως από ανθρώπους, το νόμισμα θα έλθη τις μισές φορές με την κορώνα προς τα πάνω.

Είναι αλήθεια ότι στα μικρά πειράματα, δεν ξέρετε με σιγουριά αν θα έλθη κορώνα ή γράμματα. Μπορεί να έλθη κορώνα επτά φορές στις δέκα. Αλλά εν συνεχεία μπορεί να έλθη γράμματα επτά φορές. Όσο πιο πολλές φορές το νόμισμα στρίβεται στον αέρα, τόσο περισσότερο θα πλησιάζη τον φυσικό μέσο όρο του 50 τοις εκατό κορώνα και 50 τοις εκατό γράμματα. Αυτό ονομάζεται «νόμος των μεγάλων αριθμών.»

Αλλά οι πιθανότητες να έλθη κορώνα σ’ ένα μόνο στρίψιμο είναι ακόμη μια στις δύο. Στο δεύτερο στρίψιμο οι πιθανότητες είναι ακριβώς οι ίδιες γι’ αυτό το χωριστό στρίψιμο, δηλαδή μία στις δύο. Κάθε φορά που το πετάτε, οι πιθανότητες είναι ακριβώς οι ίδιες γι’ αυτό το χωριστό στρίψιμο, δηλαδή μία στις δύο. Κάθε φορά που το πετάτε, οι πιθανότητες γι’ αυτό το ένα ρίξιμο παραμένουν ακριβώς οι ίδιες. Βλέπετε, το νόμισμα δεν έχει μνήμη. Υποθέστε, όμως, ότι κάποιος θέλει τρεις κορώνες στη σειρά και καθόλου γράμματα. Ποιες είναι οι πιθανότητες;

Πολλαπλασιάστε απλώς τις πιθανότητες να έλθη το νόμισμα κορώνα σε κάθε στρίψιμο. Για ένα στρίψιμο η πιθανότης είναι μία στις δύο ή 1/2. Για δύο στριψίματα είναι 1/2 επί 1/2, δηλαδή μία στις τέσσερις. Για τρία στριψίματα του νομίσματος οι πιθανότητες είναι 1/2 επί 1/2 επί 1/2, δηλαδή μία στις οχτώ, και ούτω καθεξής. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι με τους οποίους οι ίδιοι βασικοί μαθηματικοί νόμοι επεμβαίνουν στη ζωή σας.

Οι Πιθανότης στα Τυχερά Παιγνίδια, στην Ασφάλεια και στις Πτήσεις

Κατ’ αρχήν, η βασική γνώσις του νόμου των μεγάλων αριθμών μπορεί να σας προστατεύση από την αφελή σκέψι ότι μπορείτε πράγματι να κερδίσετε στα τυχερά παιγνίδια. Τελικά δεν μπορείτε να κερδίζετε.

Σ’ ένα καζίνο υπάρχει ίσως μια ρουλέττα με μια σειρά εναλλασσομένων μαύρων και κόκκινων αριθμών από το 1 ώς το 36· υπάρχει, επίσης, ένα λευκό μηδέν (0) κι’ ένα διπλό μηδέν (00). Η ιδέα είναι να στοιχηματίζετε σ’ έναν αριθμό και, αν κερδίσετε, το καζίνο θα σας δώση τριάντα πέντε φορές όσα στοιχηματίσατε. Αλλά η πιθανότης δείχνει ότι αυτό είναι πολύ ριψοκίνδυνο.

Για να το αποδείξωμε αυτό, ας υποθέσωμε ότι έχετε στοιχηματίσει ένα δολλάριο σε καθένα από τους 38 αριθμούς. Μόνο ένας απ’ αυτούς τους αριθμούς θα κερδίση κι’ έτσι για τα $38 που στοιχηματίσατε θα πάρετε $35, συν το δολλάριο που βάλατε στον αριθμό που κέρδισε. Η διαφορά, δηλαδή τα δύο δολλάρια, που αντιστοιχεί με το 5 τοις εκατό, είναι προς όφελος του καζίνου. Γι’ αυτό το λόγο, το καζίνο μπορεί να συνεχίζη να εργάζεται, να πληρώνη τους υπαλλήλους του και να έχη φαντασμαγορική διακόσμησι. Είναι αλήθεια ότι κάποιος πελάτης μπορεί να κερδίση και να πάρη αρκετές χιλιάδες δολλάρια σε μια βραδυά. Μπορεί να κερδίση πάλι το δεύτερο, το τρίτο ή το τέταρτο βράδυ. Αλλά το καζίνο γνωρίζει ότι τελικά πρέπει να κερδίση αυτό. Οι νόμοι των πιθανοτήτων ξεπερνούν πλήρως το 5 τοις εκατό προς όφελός του. Στο τέλος δεν μπορείτε να κερδίσετε πραγματικά σεις.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών βοηθεί, επίσης, τις ασφαλιστικές εταιρίες να καθορίσουν τα τιμολόγιά τους. Ένας πελάτης κανονικά πληρώνει ένα σχετικά μικρό ποσόν στην εταιρία και, σε αντάλλαγμα, εκείνη πληρώνει στον πελάτη ένα ωρισμένο ποσόν σε καιρό ανάγκης. Οι ασφαλιστικές εταιρίες γνωρίζουν από πείρα ότι δεν πρόκειται να πληρώσουν όλους τους πελάτες. Πώς μπορούν να είναι τόσο βέβαιοι;

Οι ασφαλιστικές εταιρίες ζωής, παραδείγματος χάριν, μελετούν την αναλογία θνησιμότητος χιλιάδων ατόμων και προσδιορίζουν το ποσοστό των ατόμων κάθε ηλικίας που πεθαίνουν ετησίως. Η γνώσις αυτού του ποσοστού είναι η βάσις για τον καθορισμό του ποσού που πληρώνει κάθε όμιλος για ασφάλιστρα· μόνο ένα ωρισμένο ποσοστό δείχνουν οι αναλογίες ότι θα πρέπει να πληρωθή από την εταιρία σε ποικίλα ποσά στη διάρκεια των ετών.

Όταν, όμως, κάποιος θέλη μια ειδική ασφάλισι, παραδείγματος χάριν, όταν μια χορεύτρια θέλη ν’ ασφαλίση τα πόδια της, τα ασφάλιστρα είναι πολύ υψηλότερα. Γιατί; Επειδή υπάρχουν μόνο λίγες τέτοιες περιπτώσεις· ο νόμος των μεγάλων αριθμών είναι περιωρισμένος. Ο κίνδυνος είναι μεγαλύτερος για την ασφαλιστική εταιρία. Είναι, πάλι, σαν να στρίβετε ένα νόμισμα. Όταν η ασφαλιστική εταιρία στρίβη το νόμισμα, όπως θα λέγαμε, χιλιάδες φορές, οι πιθανότητες είναι με το μέρος της. Αλλ’ όταν το στρίβη μόνο μια φορά, ο κίνδυνος είναι πολύ μεγαλύτερος. Έτσι, τα ασφάλιστρα είναι πολύ μεγαλύτερα.

Μη συμπεράνετε, όμως, ότι το ν’ ασφαλισθήτε και να παίξετε τυχερά παιγνίδια είναι το ίδιο· αντιθέτως, οι ίδιοι νόμοι διέπουν και τα δύο. Στο παιγνίδι θα μπορούσατε να κερδίσετε είτε χρειάζεσθε τα χρήματα είτε όχι. Αλλά στην ασφάλεια «κερδίζετε» μόνον για να καλύψετε μια ζημία που έγινε εις βάρος σας.

Πράγματι, «σύμπτωσις» για τον μέσο παίκτη δεν σημαίνει συνήθως τίποτα περισσότερο από τυφλή «τύχη.» Μπορεί να μη γνωρίζη τίποτε για το νόμο των μεγάλων αριθμών, αλλά ελπίζει ειλικρινά ότι με κάποιον τρόπο θα τύχη να εμφανισθή ο σωστός συνδυασμός όταν αυτός παίζη.

Μια ακριβής γνώσις του νόμου των πιθανοτήτων μπορεί, επίσης, να σας ανακουφίση πριν μπήτε στο αεροπλάνο. Το 1973 έγιναν πάνω από τεσσεράμισυ εκατομμύρια εμπορικές πτήσεις από αεροπλάνα των Η.Π.Α. Συνέβησαν, όμως, τρία θανατηφόρα δυστυχήματα. Αυτό σημαίνει ότι γινόταν ένα δυστύχημα σε κάθε ενάμισυ εκατομμύριο πτήσεις. Κάθε φορά που κάποιος έμπαινε σ’ ένα αεροπλάνο, οι πιθανότητες ήσαν ακριβώς οι ίδιες: μια σε 1.500.000 ότι θα έπεφτε και θα υπήρχαν θύματα.

Με προσεκτικά μαθηματικά, ένα άτομο μπορεί να σκεφθή ότι το πρώτο από τα τρία δυστυχήματα θα συμβή κοντά στο τέλος του ενάμισυ εκατομμυρίου επιτυχών πτήσεων ή, με άλλα λόγια, μετά από τέσσερις περίπου μήνες. Έτσι, θα μπορούσε ν’ αποφύγη εκείνη την πτήσι. Αλλά, στην πραγματικότητα, και οι τρεις μοιραίες πτήσεις του 1973 έγιναν τον Ιούλιο σε μια περίοδο εννέα ημερών.

Τώρα υποθέστε απλώς ότι συνεχίζει να ισχύη το ίδιο βασικό ποσοστό μοιραίων πτήσεων. Κανείς δεν μπορεί να πη πότε θα συμβούν. Υπάρχει πιθανότης να πέσουν δώδεκα αεροπλάνα σε μια μέρα και ν’ ακολουθήση περίοδος τεσσάρων ετών χωρίς δυστυχήματα; Ποιος μπορεί να το πη;

Επομένως, μπορείτε να μπήτε σ’ ένα αεροπλάνο μ’ εμπιστοσύνη και με τη βεβαιότητα ότι κανένας μοιρολατρικός «νόμος των μέσων όρων» δεν θα επιδιώξη να σας βλάψη.

Μήπως η Τύχη Ευνοεί την Εξέλιξι;

Όταν κατανοήσωμε τις στοιχειώδεις έννοιες σχετικά με την πιθανότητα, τις οποίες εξετάσαμε, θα βοηθηθούμε να εκτιμήσωμε πόσο εσφαλμένο είναι να πιστεύωμε ότι η τύχη ευνοεί τη θεωρία ότι η ζωή άρχισε τυχαίως κι’ έπειτα εξελίχθηκε στις διάφορες μορφές που βλέπομε σήμερα στη γη.

Αλλά ίσως να ρωτήση κάποιος: Αν όλα τα χημικά «συστατικά» που χρειάζονται για να σχηματισθή ζωή τυχαίως αναμιγνύοντο με αρκετά διαφορετικούς τρόπους στη διάρκεια μιας μακράς χρονικής περιόδου, δεν θα παρουσιαζόταν τελικά ζωή; Κατ’ αρχήν, κάποιος ή κάτι πρέπει να κάμη την ανάμιξι. Αλλ’ ας παραβλέψωμε σκοπίμως αυτή την αναγκαία απαίτησι και ας σκεφθούμε: Σ’ ένα κύτταρο γίνονται χιλιάδες μικρές μοριακές και χημικές ενέργειες και, σ’ έναν άνθρωπο υπάρχουν τρισεκατομμύρια κύτταρα, από τα οποία πολλά εκτελούν εξαιρετικά ειδικευμένες λειτουργίες. Η πιθανότης ότι αυτές οι λειτουργίες άρχισαν κι’ εξελίχθηκαν από μια άμυαλη ανάμιξι είναι αφάνταστα απίθανη.

Ας δώσωμε ένα παράδειγμα αυτού που εννοούμε, χρησιμοποιώντας μια τράπουλα.

Υποθέστε ότι παίζετε μπριτζ. Ποιες είναι οι πιθανότητες να πάρετε και τα 13 σπαθιά στο μοίρασμα των 52 χαρτιών; Οι πιθανότητες ότι στο πρώτο μοίρασμα θα πάρετε ένα σπαθί είναι, προφανώς 13/52. Από τα 51 χαρτιά που έμειναν, τα 12 είναι σπαθιά κι έτσι οι πιθανότητες γίνονται 12/51. Μετά γίνονται 11/50, 10/49 μέχρι 1/40 για το τελευταίο χαρτί. Πολλαπλασιάστε όλ’ αυτά τα κλάσματα μαζί και θα δήτε ότι η πιθανότης να πάρετε και τα 13 σπαθιά είναι μια σε 635.000.000.000 και πλέον.

Και μην ξεχνάτε ότι παίζομε με μια απλή τράπουλα 52 φύλλων.

Επιπλέον, δεν απαιτούμε να μας έλθουν τα σπαθιά από την τράπουλα στη σωστή αριθμητική τους τάξι. Αυτή η απαίτησις θα συμπίεζε την πιθανότητα πολλές φορές. Οι πιθανότητες τότε θα γίνονταν 1/52 ως αρχή και όχι 13/52. Αν το σωστό χαρτί μοιραζόταν την πρώτη φορά, οι πιθανότητες κατόπιν γίνονται όχι 12/51 αλλά 1/51· έπειτα 1/50 (όχι 11/50) και ούτω καθεξής. Η τελική πιθανότης να πάρετε όλα τα σπαθιά στη σειρά θα ήταν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των εξής αριθμών μαζί 1/52 Χ 1/51 Χ 1/50 Χ 1/49 Χ 1/48 Χ 1/47 Χ 1/46 Χ 1/45 Χ 1/44 Χ 1/43 Χ 1/42 Χ 1/41 Χ 1/40. Τι πιθανότητες δίνει αυτό;

Μια σε περίπου 4.000.000.000.000.000.000.000.

Και αυτό για 13 μόνο «συστατικά» στη σωστή τους σειρά. Μη ξεχνάτε ότι κάθε συστατικό ήδη υπάρχει, σύμφωνα μ’ αυτόν τον συλλογισμό, και κατά κάποιον τρόπο, στη σωστή του αναλογία. Μ’ άλλα λόγια, λέμε ότι η τράπουλα υπάρχει πριν αρχίσωμε.

Κάτι άλλο: δύο φύλα θα εχρειάζοντο για να συνεχισθή η προχωρημένη ζωή. Έτσι η ίδια διαδικασία πρέπει να συμβή, όχι μια φορά, αλλά δύο φορές. Ποιες είναι οι πιθανότητες να τραβήξετε τα 13 σπαθιά στη σωστή τους αριθμητική σειρά από μια τράπουλα δύο φορές στη σειρά; Για να το βρήτε, θα πρέπει όχι απλώς να προσθέσετε δύο φορές τον παραπάνω αριθμό, αλλά να τον υψώσετε στο τετράγωνο, δηλ. να τον πολλαπλασιάσετε με τον εαυτό του. Αυτό θα έδινε μια στις 16 που συνοδεύεται από 40 και πλέον μηδενικά.

Υπάρχουν, φυσικά, πολύ, περισσότερες λειτουργίες που υπεισέρχονται σ’ ένα ζευγάρι ζώντων ανθρώπων παρά η απλή ανάμιξις δεκατριών συστατικών. Αλλ’ αυτό δεν δείχνει ζωντανά πόσο αδύνατες είναι οι πιθανότητες του ν’ αρχίση η ζωή τυχαίως και κατόπιν ν’ ακολουθήση έναν εξελικτικό δρόμο;

Πραγματικά, οι πιθανότητες είναι τόσο αμυδρές ώστε ακόμη και οι γνωστοί οπαδοί της εξελίξεως αναγνωρίζουν ότι είναι αδύνατο να το πιστέψουν. Ο Τζούλιαν Χάξλεϋ λέγει: «Ένας μικρός υπολογισμός δείχνει πόσο απίστευτα, απίθανα είναι τ’ αποτελέσματα της φυσικής επιλογής όταν δοθή αρκετός χρόνος.» Ρωτά, Ποιες είναι οι πιθανότητες ότι ένα άλογο μπορούσε να παραχθή μόνο τυχαίως; Στην απάντησί του ο Χάξλεϋ αναφέρεται στις «φανταστικές πιθανότητες να έχωμε ένα ευνοϊκό αριθμό μεταλλάξεων σε μια ράτσα μόνο από απλή σύμπτωσι,» και προσθέτει: «Η εκατομμυριοστή δύναμις του χίλια [1.000^1,000,000] όταν γραφή γίνεται ένας αριθμός που συμβολίζεται με το ακολουθούμενο από τρία εκατομμύρια μηδενικά· και αυτό θα έπαιρνε τρεις μεγάλους τόμους των 500 σελίδων ο καθένας, μόνο για να τυπωθή! Στην πραγματικότητα, αυτός είναι ένας ασύλληπτα μεγάλος αριθμός, αλλά δείχνει ποιο βαθμό απιθανότητος πρέπει να υπερπηδήση η φυσική επιλογή . . . Το 1 με τρία εκατομμύρια μηδενικά είναι το μέτρο της απιθανότητος για ένα άλογο—η πιθανότης του να μη γίνη ποτέ. Κανένας δεν θα στοιχημάτιζε σε κάτι τόσο απίθανο να συμβή.»

Παρ’ όλα αυτά, ο Χάξλεϋ επανέρχεται και με δυσπιστία λέγει: «Όμως έχει συμβή.» Πόσο συνεπές φαίνεται αυτό σ’ εσάς; Αν κανείς θέλη να πιστεύη πιθανότητες αυτού του είδους, αυτό είναι δική του παράλογη απόφασι. Αλλά δεν μπορεί ειλικρινά να πη ότι το πλήθος των αποδείξεων—οι πιθανότητες—είναι με το μέρος του.

Μήπως η «Τύχη» Δείχνει ένα Σχεδιαστή;

Εξ άλλου, μήπως δεν γνωρίζετε ότι η ζωή έρχεται πάντοτε από άλλη ζωή; Ασφαλώς. Η δική σας πείρα, τότε, σας λέγει ότι η «τύχη» ευνοεί το γεγονός ότι η ζωή έχει ένα ζώντα Δημιουργό. Σ’ αυτή την παρατήρησι υποστηρίζεσθε από όλη την εύνοια της πιθανότητος. Γιατί το λέμε αυτό;

Διότι η πιθανότης αποδεικνύει σχέδιο. Οι νόμοι των πιθανοτήτων, που μόνο εν μέρει εξετάσαμε, είναι η βάσις σχεδόν όλης της επιστημονικής σκέψεως. Οι άνθρωποι εμπιστεύονται τελείως σ’ αυτούς τους άψυχους νόμους. Είναι τόσο σταθεροί, ώστε οι επιστήμονες λέγουν ότι μπορούμε να έχωμε «εμπιστοσύνη» σ’ αυτούς. Μπορούμε, όμως, να πιστέψωμε ότι οι τέτοιοι νόμοι υπάρχουν απλώς τυχαίως; Αλλά δεν έχουν οι νόμοι νομοθέτες; Ασφαλώς το βάρος των δεδομένων, οι πιθανότητες, δείχνουν ότι ένας σχεδιαστής είναι πίσω από τους μαθηματικούς νόμους. Εκτός αυτού, αν, αυτοί οι νόμοι και άλλοι της υλικής δημιουργίας είναι τόσο σταθεροί και αμετάβλητοι, τότε το ίδιο πρέπει να είναι και ο Δημιουργός.

Υπάρχει πραγματική ευχαρίστησις όταν φθάσωμε να κατανοήσωμε την ακρίβεια με την οποία λειτουργούν οι νόμοι, όπως αυτοί των πιθανοτήτων. Αλλά το πραγματικά διορατικό άτομο θέλει περισσότερα από αυτή την ικανοποίησι. Θέλει να μπορέση να γνωρίση Εκείνον που έκαμε αυτούς τους νόμους. Μια τέτοια πείρα είναι απείρως πιο ευχάριστη.

[Εικόνα στη σελίδα 23]

Ο αριθμός που δείχνει τις πιθανότητες ότι η εξέλιξις θα μπορούσε να παραγάγη ένα άλογο θα γέμιζε τρεις μεγάλους τόμους. Θα είχατε εμπιστοσύνη σε τέτοιες πιθανότητες;