Miten suuri on ”sattuman” todennäköisyys?

VALTAVAN lentokoneen takaovi revähtää salaperäisesti auki korkealla ilmassa, matkustamon ilmanpaine laskee, ja kolmesataa ihmistä kuolee koneen pudotessa maahan liekehtiväksi hylyksi. Miten suuri on todennäköisyys, että olisit ollut mukana tuossa koneessa?

Tai otaksukaamme, että olisit pelannut bridgeä koko illan eikä sinulle olisi kertaakaan tullut jaossa pataässää. Miten suuri todennäköisyys on, että saat tämän kortin seuraavassa jaossa?

Opiskelija istuu yliopiston luentosalissa ja kuulee professorin sanovan: ”Todennäköisyyslakien perusteella kehityksen on täytynyt tapahtua . . . ” Mutta oppilas pohtii: ”Tapahtuiko se?”

Usein käytämme sanaa ”sattuma” merkitsemään vain sattumanvaraista tapahtumaa, ja sitä käytetään tällä tavalla aivan oikein. Mutta kuten nämä esimerkit osoittavat, sillä on toinenkin merkitys. Se tuo mieleen käsitteen todennäköisyys. Tämä aihe ei kiinnosta pelkästään matemaatikkoja, vaikka he nauttivatkin kiperistä tehtävistä enemmän kuin muut.

Todennäköisyyskäsitteen oppimista kolikon avulla

Ymmärtääksemme todennäköisyyslaskennan sovellutuksia tarkastelkaamme erästä sen perusmuotoa.

Heitä kolikko ilmaan. Putoaako se maahan kruuna- vai klaavapuoli ylöspäin? Kukaan ihminen ei voi ennustaa sitä erehtymättä. Heitä kolikko kymmenen kertaa. Miten usein se putoaa kruuna ylöspäin? Taaskaan kukaan ihminen ei voi nähdä sitä ennalta.

Mutta otaksukaamme, että heittäisit kolikon ilmaan kaksi miljoonaa kertaa. Miten usein se silloin putoaisi kruunapuoli ylöspäin? Noin miljoona kertaa. Syistä, joita ihmiset eivät kykene täysin selittämään, kolikko pitkän koesarjan kuluessa putoaa puolet heittokerroista kruunapuoli ylöspäin.

Tosin lyhyessä kokeessa et voi tietää varmasti, saatko kruunan vai klaavan. Seitsemän kertaa kymmenestä saattaa tulla kruuna. Mutta seuraavana seitsemänä kertana saattaa tulla klaava. Mitä useampia kertoja kolikkoa heitetään, sitä lähemmäs päästään luonnollista keskiarvoa, jolloin 50 prosenttia heitoista on kruunaa ja 50 prosenttia klaavaa. Tätä kutsutaan ”suurten lukujen laiksi”.

Mutta todennäköisyys, että millä tahansa yhdellä heitolla saadaan kruuna, on yksi kahdesta. Seuraavalla heitolla tuon heiton todennäköisyys on täsmälleen sama, 1/2. Joka kerta kun heität kolikon, todennäköisyys tuolla yhdellä heitolla pysyy täsmälleen samana. Kolikolla ei ole muistia. Mutta olettakaamme, että joku haluaa kolme kruunaa peräkkäin eikä yhtään klaavaa. Mitkä ovat mahdollisuudet?

Kerro keskenään todennäköisyydet, että kullakin heitolla tulee kruuna. Yhdellä heitolla todennäköisyys, että heittää kruunan, on 1/2. Kahdella heitolla se on näin ollen 1/2 kertaa 1/2 eli todennäköisyys on 1/4. Kolmella heitolla todennäköisyys on 1/2 x 1/2 x 1/2 eli yhden suhde kahdeksaan, ja niin edelleen. On olemassa muitakin tapoja, joilla nuo samat matematiikan peruslait koskettavat elämääsi.

Todennäköisyydet uhkapelissä, vakuutuksissa ja lentämisessa

Ensinnäkin perustiedot suurten lukujen laista estävät sinua ajattelemasta lapsellisesti, että kykenet todella voittamaan uhkapelissä. Ajan oloon et voi.

Pelikasinossa saattaa olla rulettipyörä, jossa on vuorotellen punaisia ja mustia numeroita, luvut 1:stä 36:een sekä yksi valkoinen nolla (0) ja kaksoisnolla (00). Ajatuksena on asettaa pelinappula jonkin numeron päälle, ja jos voitat, kasino antaa sinulle 35-kertaisena summan, jonka olit pannut peliin. Todennäköisyyslaskenta kuitenkin paljastaa mahdollisuuksien olevan huonot.

Todistakaamme se. Kuvittelehan asettavasi yhden markan panoksen kullekin 38 numerosta. Vain yksi niistä voi voittaa, joten 38 markan sijoituksestasi saat takaisin 35 markkaa sekä alkuperäisen markan, jonka asetit voittaneelle numerolle. Kahden markan ero, yli viisi prosenttia koko summasta, koituu kasinon hyväksi. Sen tähden se voi jatkaa toimintaansa, maksaa työntekijöilleen ja järjestää hienon peliympäristön. Tosin jollakulla asiakkaalla saattaa olla hyvää onnea, niin että hän voittaa useita tuhansia markkoja yhdessä illassa. Hän saattaa menestyä yhtä hyvin toisena, kolmantena ja neljäntenäkin iltana. Mutta kasino tietää, että aikaa myöten sen täytyy voittaa. On yli 5 prosentin todennäköisyys, että se voittaa. Niin, aikaa myöten sinä et voi voittaa.

Suurten lukujen laki auttaa myös vakuutusyhtiöitä määräämään vakuutusmaksujensa suuruuden. Asiakas maksaa säännöllisesti suhteellisen alhaisen summan yhtiölle, ja tämä vuorostaan maksaa asiakkaalle tietyn summan hätätilanteessa. Vakuutusyhtiöt tietävät kokemuksesta, että niiden ei tarvitse maksaa kaikille asiakkaille. Mistä ne voivat tietää sen niin varmasti?

Esimerkiksi henkivakuutusyhtiöt tutkivat tuhansien ihmisten kuolleisuuslukuja ja laskevat, miten suuri osa kustakin ikäryhmästä kuolee vuosittain. Tämän prosentin tietäminen on perustana sen summan ratkaisemiselle, jonka kukin ikäryhmä maksaa henkivakuutuksestaan. Tilastot osoittavat, että vuosien mittaan vain tietty prosentti saaduista rahoista on maksettava takaisin asiakkaille eri suuruisina summina.

Mutta jos joku haluaa erikoisvakuutuksen, esimerkiksi jos tanssijatar haluaa vakuuttaa jalkansa, vakuutusmaksut ovat paljon korkeammat. Miksi? Siksi että tällaisia tapauksia on vain muutamia; suurten lukujen laki ei sovellu harvoihin tapauksiin. Vakuutusyhtiön ottama riski on suurempi. Jälleen on kuin kysymys kruunan ja klaavan heittämisestä. Kun vakuutusyhtiö ikään kuin heittää kruunaa ja klaavaa tuhansia kertoja, sillä on hyvät mahdollisuudet. Mutta kun heitetään ainoastaan kerran, riski on paljon suurempi. Vakuutusmaksujen täytyy siksi olla paljon korkeammat.

Älä kuitenkaan päättele tästä, että vakuutuksen ottaminen ja uhkapeli ovat samaa; ei, vaan pikemminkin samat lait vaikuttavat molempiin. Uhkapelissä saatat voittaa, tarvitsitpa rahaa tai et. Mutta vakuutuksessa ”voitat” ainoastaan kokemasi menetyksen korvaamiseksi.

Tavalliselle uhkapelurille ”sattuma” merkitsee tavallisesti pelkästään sokeaa ”onnea”. Hän ei ehkä tiedä mitään suurten lukujen laista, mutta hän toivoo vilpittömästi, että jotenkin oikea yhdistelmä sattuu tulemaan juuri silloin kun hän on pelaamassa.

Täsmällinen tieto sattuman laeista saattaa myös tuottaa sinulle helpotusta lentokoneeseen noustessasi. Vuonna 1973 Yhdysvaltain omistamilla lentokoneilla tehtiin yli 4500000 kaupallista lentoa. Samana vuonna oli kolme ihmishenkiä vaatinutta lento-onnettomuutta. Se merkitsee yhtä lento-onnettomuutta puoltatoista miljoonaa lentoa kohti. Joka kerta kun joku astui lentokoneeseen, todennäköisyys, että tapahtuu tuhoisa lento-onnettomuus, oli täsmälleen sama: 1:1500000.

Joku voisi järkeillä, että ensimmäinen kolmesta lento-onnettomuudesta tapahtuisi, kun ensimmäiset puolitoista miljoonaa onnistunutta lentoa olisivat lähestymässä loppuaan, toisin sanoen noin neljän kuukauden kuluttua. Hän saattaisi välttää lentämästä silloin. Mutta todellisuudessa kaikki nuo vuoden 1973 kolme tuhoisaa lento-onnettomuutta tapahtuivat heinäkuussa yhdeksän päivän ajanjaksona.

Otaksukaamme nyt, että sama tuhoisien lento-onnettomuuksien prosenttimäärä pitää yhä paikkansa. Kukaan ei voi sanoa, milloin onnettomuudet sattuvat. Putoaako 12 konetta samana päivänä, minkä jälkeen ei ole yhtään onnettomuutta neljään vuoteen? Kuka voi sanoa sen?

Voit sen tähden astua luottavaisesti lentokoneeseen vakuuttuneena siitä, että kohtalonomainen ”keskiarvojen laki” ei ole väijymässä nimenomaan sinua.

Tukeeko sattuma kehitystä?

Kun ymmärrämme todennäköisyyslaskennan alkeiskäsitteet, joita olemme edellä käsitelleet, se auttaa meitä välttymään harhaluulolta, että todennäköisyyslakien mukaan elämä saattoi alkaa sattumalta ja kehittyä sitten nykyään maan päällä oleviksi erilaisiksi muodoiksi.

Voitaisiin kuitenkin kysyä: jos kaikki kemialliset osaset, joita tarvitaan elämän muodostumiseksi sattumalta, sekoitettaisiin kyllin monella tavalla pitkän ajanjakson kuluessa, eikö elämää lopulta syntyisi? No, ensinnäkin jonkun tai jonkin täytyy suorittaa sekoittaminen. Mutta voidaksemme jatkaa aiheen tarkastelua jättäkäämme tarkoituksellisesti tämä välttämätön vaatimus huomioon ottamatta ja harkitkaamme seuraavaa: Yhdessä solussa on tuhansia pieniä molekyylejä ja siinä tapahtuu tuhansia kemiallisia toimintoja. Lisäksi ihmisessä on biljoonia soluja, joista jotkin suorittavat sangen erikoistuneita toimintoja. Todennäköisyys, että nämä tapahtumasarjat alkoivat ja kehittyivät älyttömästä sekoittamisesta, on mielikuvituksellisen pieni.

Valaisemme asiaa korttipakalla.

Otaksukaamme, että pelaat bridgeä. Miten suuri on todennäköisyys, että saat jaossa 52 kortin pakasta kaikki 13 pataa? Todennäköisyys, että ensimmäinen vetämäsi kortti on pata, on ilmeisestikin 13/52. Jäljelle jääneistä 51 kortista 12 on pataa, joten todennäköisyydeksi tulee 12/51, edelleen 11/50, 10/49, aina 1/40 asti. Kerro kaikki nämä murtoluvut keskenään, niin saat selville, että todennäköisyys, että sinulle jaetaan kaikki 13 pataa, on yksi yli 635 miljardista.

Muista lisäksi, että kysymyksessä on pelkästään 52 kortin pakka.

Lisäksi me emme vaadi korttipakasta patoja oikeassa numerojärjestyksessä. Tuo vaatimus pienentäisi todennäköisyyden moninkertaisesti. Silloin ensimmäisen kortin todennäköisyydeksi tulisi 1/52 eikä 13/52. Jos oikea kortti saadaan ensimmäisellä kerralla, todennäköisyydeksi tulee seuraavaksi 1/51 eikä 12/51; sitten 1/50 (eikä 11/50), ja niin edelleen. Sen todennäköisyys, että kaikki padat jaettaisiin oikeassa järjestyksessä, saadaan selville seuraavan kertolaskun avulla: 1/52 x 1/51 x 1/50 x 1/49 x 1/48 x 1/47 x 1/46 x 1/45 x 1/44 x 1/43 x 1/42 x 1/41 x 1/40. Millainen todennäköisyys siitä saadaan?

Yksi noin 4000000000000000000000:sta.

Tämä tulos saadaan ainoastaan kolmestatoista osasesta, jotka on saatava oikeassa järjestyksessä. Älä unohda, että kukin osanen on tämän todistelun mukaan jo olemassa ja sitä on jollakin tavalla juuri oikea määrä. Toisin sanoen korttipakka on olemassa ennen kuin aloitamme kokeen.

Toinen seikka: Tarvitaan kaksi sukupuolta, jotta kehittynyt elämä voisi jatkua. Niinpä ei riitä, että tuo tapahtumasarja sattuu vain kerran, vaan sen on satuttava kahdesti. Miten suuri on todennäköisyys, että voit saada korttipakasta 13 patakorttia oikeassa numerojärjestyksessä kaksi kertaa peräkkäin? Sen selville saamiseksi ei riitä vain se, että kertoo edellä mainitun luvun kahdella, vaan on laskettava sen neliö eli se on kerrottava itsellään. Tällöin saataisiin tulokseksi yhden suhde lukuun, jossa on 16 ja sen perässä yli 40 nollaa.

Kahdessa elävässä ihmisessä tapahtuu luonnollisesti paljon, paljon enemmän toimintoja kuin pelkästään kolmentoista aineksen sekoittuminen keskenään. Mutta eikö tämä valaise elävästi sitä, miten kaukainen on todennäköisyys, että elämä alkoi sattumalta ja noudatti sitten kehityksen tietä?

Sen todennäköisyys on niin äärimmäisen pieni, että kehitysopin vannoutuneetkin kannattajat tunnustavat sen olevan lähes mahdotonta uskoa. Julian Huxley sanoo: ”Pieni laskelma osoittaa, miten uskomattoman epätodennäköisiä luonnon valinnan tulokset voivat olla, kun riittävästi aikaa on käytettävissä.” Hän kysyy: miten suuri on todennäköisyys, että pelkästään sattuma voisi tuottaa hevosen? Vastauksessaan Huxley viittaa ”mielikuvituksellisen pieneen todennäköisyyteen, että saataisiin useita onnistuneita mutaatioita samassa sukuhaarassa pelkän sattuman avulla”, ja sitten hän lisää: ”Tuhannesta miljoonanteen potenssiin [1000^1000000] tulee tulokseksi luku, jossa on ykkösen jälkeen kolme miljoonaa nollaa; pelkästään sen painamiseen tarvittaisiin kolme suurta 500-sivuista nidosta! Se on todellisuudessa merkityksettömän suuri luku, mutta se osoittaa, millainen epätodennäköisyys luonnon valinnan täytyy voittaa . . . Ykkönen, jonka jäljessä on kolme miljoonaa nollaa, on hevosen epätodennäköisyyden mitta – todennäköisyyden, että sitä ei ole koskaan tullutkaan. Kukaan ei löisi vetoa minkään niin epätodennäköisen tapahtumisesta.”

Siitä huolimatta Huxley pyörtää puheensa ja sanoo epäilyttävästi: ”Kuitenkin se on tapahtunut.” Miten johdonmukaiselta se sinusta vaikuttaa? Jos joku haluaa uskoa tuollaiseen todennäköisyyteen, hän tehköön niin mielettömän johtopäätöksen. Mutta hän ei voi rehellisesti sanoa, että todisteet – todennäköisyys – tukevat hänen kantaansa.

Vai viittaako ”sattuma” Tekijään?

Etkö ole toisaalta aina tiennyt, että elämää syntyy toisesta elämästä? Varmasti. Oma kokemuksesi näin ollen kertoo sinulle, että on todennäköisempää, että elämän pani alulle elävä Luoja. Koko todennäköisyyden käsite tukee tätä huomiotasi. Miksi sanomme näin?

Siksi, että todennäköisyys on todisteena tarkoituksesta. Todennäköisyyslait, joita olemme vain osittain tarkastelleet, ovat todellisuudessa kaiken tieteellisen ajattelun perustana. Ihmiset luottavat täysin näihin elottomiin lakeihin. Ne ovat niin pysyviä, että tiedemiehet sanovat, että me voimme ”uskoa” niihin. Pitäisikö meidän nyt uskoa, että sellaiset lait ovat tulleet olemaan pelkästään sattumalta? Vai eikö laeilla ole laatijansa? Varmasti kaikki tieto ja todennäköisyys viittaa matemaattisten lakien takana olevaan Luojaan. Lisäksi jos nämä lait ja muut aineellisen luomakunnan lait ovat niin pysyviä, muuttumattomia, silloin Luojankin täytyy olla samanlainen.

Todennäköisyyslakien täsmällisen toiminnan ymmärtäminen tuottaa aitoa mielihyvää. Mutta todella arvostelukykyinen ihminen haluaa enemmän kuin tuota tyydytystä. Hän haluaa tulla tuntemaan Sen, joka teki sellaiset lait. Sellainen kokemus voi olla vielä suunnattomasti nautittavampi.

[Kuva s. 20]

Luku, joka osoittaa todennäköisyyden, että kehitys voisi tuottaa hevosen, täyttäisi kolme paksua kirjaa. Uskoisitko sinä sellaiseen todennäköisyyteen?