Τι τα “Νέα Μαθηματικά” Διδάσκουν στο Παιδί Σας

ΟΙ ΓΟΝΕΙΣ συχνά βρίσκουν τα «νέα μαθηματικά» περίπλοκα, ιδίως όταν το παιδί τους παίρνη «άριστα» επειδή έγραψε 1 + 1 = 10, ή 8 + 6 = 2. Δεν είναι παράδοξο το ότι μια μητέρα ακούσθηκε ν’ αναφωνή, «Μου είναι ακατανόητο!» όταν είδε την κατ’ οίκον εργασία του παιδιού της τής πέμπτης δημοτικού.

Δεν είναι λίγοι οι γονείς στις Ηνωμένες Πολιτείες που ανησυχούν βαθειά, διαπιστώνοντας ότι τα παιδιά τους χρησιμοποιούν μαθηματικά συστήματα που είναι εντελώς ξένα προς αυτούς. «Τον παλαιό καιρό,» έγραψε ένας ανήσυχος πατέρας, «ένα παιδί μπορούσε να κάμη στο σπίτι την κατ’ οίκον εργασία του, και οι γονείς του θα την διεξήρχοντο μαζί του, κάνοντας διορθώσεις ή δίνοντας ενθάρρυνσι. Σήμερα, όμως, η κατ’ οίκον εργασία είναι τόσο περίπλοκη, ώστε ούτε το παιδί ούτε οι γονείς του γνωρίζουν τι συμβαίνει σχετικώς.»

Ακόμη και οι καθηγηταί έπρεπε να μετεκπαιδευθούν. Σε μερικά μέρη, έχουν καθιερωθή σειρές μαθημάτων επί των «νέων μαθηματικών» για γονείς. Δεν συμπαθούν όμως όλοι την ιδέα να τα παρακολουθούν. Μια μητέρα, που είχε λάβει πανεπιστημιακή εκπαίδευσι επί δύο χρόνια, αρνήθηκε να πάη. «Ξέρετε με τι μοιάζει, να αισθάνωμαι στην ηλικία μου ότι είμαι ανεπαρκής για μαθήματα δευτέρας τάξεως;» ρώτησε. Ένας άλλος γονεύς παραπονέθηκε : «Αυτή η ύλη φθείρει τις σχέσεις μου με τα παιδιά μου. Νομίζουν ότι είμαι κουτός!»

Τι είναι τα «νέα μαθηματικά;» Γιατί διδάσκονται; Είναι πράγματι καλύτερα από τον παλαιό τρόπο διδασκαλίας μαθηματικών;

Γιατί Διδάσκονται τα «Νέα Μαθηματικά»

Ο μέσος άνθρωπος αναμφιβόλως θεωρεί τα μαθηματικά ως ένα στατικό θέμα, αλλ’ αυτά πολύ απέχουν από κάτι τέτοιο. Υπολογίζεται ότι στα περασμένα εξήντα χρόνια περίπου έχουν δημιουργηθή περισσότερα μαθηματικά απ’ ότι σε όλους μαζί τους περασμένους αιώνες. Όμως, το περιεχόμενο των προγραμμάτων των μαθηματικών λίγο άλλαξε μέσα σε τριακόσια χρόνια. Μια αυθεντία παρατήρησε ότι ένας καθηγητής του δεκάτου εβδόμου αιώνος θα μπορούσε να μπή, προ ολίγων ετών, σε μια τάξι μαθηματικών και ν’ αρχίση να διδάσκη χωρίς δυσκολία. Αλλ’ ένας καθηγητής της ιστορίας, της επιστήμης ή της γλώσσης δεν θα μπορούσε να το κάμη αυτό, εφόσον τα περιεχόμενα των μαθημάτων αυτών έχουν αλλάξει ριζικώς. Γι’ αυτό, οι εκπαιδευταί έχουν από μακρού νοιώσει την ανάγκη του εκσυγχρονισμού των προγραμμάτων των μαθηματικών.

Στις Ηνωμένες Πολιτείες, εξησφαλίσθη υποστήριξις εκ μέρους του κοινού για τέτοιες αλλαγές, όταν η Ρωσία έθεσε επιτυχώς σε τροχιά τον Σπούτνικ της το 1957. Έπειτα απ’ αυτό το εντυπωσιακό διαστημικό επίτευγμα, κατενοήθη η επείγουσα ανάγκη για περισσοτέρους και καλυτέρους επιστήμονας, και, εφόσον η επιστήμη βασίζεται στα μαθηματικά, για καλύτερα προγράμματα μαθηματικών. Η μεταρρύθμισις στη διδασκαλία των μαθηματικών είχε ήδη αρχίσει σε περιορισμένο βαθμό στα σχολεία ανωτέρας εκπαιδεύσεως. Τώρα προσέλαβε κεκτημένη ταχύτητα, κατεβαίνοντας και στα σχολεία στοιχειώδους εκπαιδεύσεως.

Ο σκοπός των προγραμμάτων των «νέων μαθηματικών» είναι να δώση στα παιδιά μια βεβαία κατανόησι της δομής και της σχέσεως των αριθμών μεταξύ των. Αποσκοπούν στο να βοηθήσουν τους σπουδαστάς να κατανοήσουν τον τρόπο με τον οποίον έχουν διασκευασθή τα αριθμητικά συστήματα και τους νόμους που διέπουν τη λειτουργία τους. Έτσι, αντί να συντάσσουν απλώς κανόνες και να δίνουν έμφασι σε ασκήσεις προς εφαρμογήν των, τα «νέα μαθηματικά» προσπαθούν ν’ ανατρέχουν στην πηγή των κανόνων για να καταδείχνουν ότι ισχύουν.

Τα «νέα μαθηματικά» επίσης εισάγουν ενωρίς τα παιδιά σε προχωρημένες μαθηματικές αντιλήψεις. Δείχνουν την αμοιβαία εσωτερική σχέσι των διαφόρων κλάδων των μαθηματικών, όπως η άλγεβρα και η γεωμετρία, μάλλον, παρά να τους θεωρούν ως χωριστά θέματα.

Τα «νέα μαθηματικά» θα μπορούσαν να παραβληθούν με μια σειρά μαθημάτων μαγειρικής όπου καταβάλλεται προσπάθεια, όχι μόνον να παρέχεται πρακτική εξάσκησις ως προς την εφαρμογή των προκαθωρισμένων βημάτων μιας συνταγής, αλλ’ επίσης να βοηθηθή ο σπουδαστής να κατανοήση τις ιδιότητες των διαφόρων συστατικών και το αποτέλεσμά τους κατόπιν συνδυασμού με άλλα συστατικά. Έτσι, ο σπουδαστής όχι μόνο μαθαίνει πώς να κατασκευάζη ένα συγκεκριμένο φαγητό, αλλ’ επίσης μαθαίνει γιατί προκύπτει το τελικό προϊόν με τον τρόπο που προκύπτει. Έτσι ο σπουδαστής βοηθείται ν’ αποκτήση μια καλύτερη γενική εικόνα της μαγειρικής και συνεπώς να γίνη, κατά πάσαν πιθανότητα, ένας καλύτερος μάγειρος.

Παρόμοια, βοηθώντας νεαρούς σπουδαστάς των μαθηματικών να δουν την εξήγησι των κανόνων και εισάγοντάς τους ενωρίς σε προχωρημένες αντιλήψεις, ελπίζεται ότι θα καταρτισθούν καλύτερα για να βρίσκουν λύσεις προβλημάτων και να παρακολουθούν σειρές μαθημάτων ανωτέρων μαθηματικών.

Συνδυασμοί Ψηφίων

Δεν είναι όμοια όλα τα προγράμματα των «νέων μαθηματικών.» Πιθανόν να υπάρχη σημαντική διαφορά από σχολείο σε σχολείο. Γενικώς, όμως, τα προγράμματα προσπαθούν να διδάξουν στα παιδιά το γιατί τα ψηφία συνδυάζονται με τον τρόπο που συνδυάζονται. Αυτό μπορεί να φαίνεται αρκετά απλό, αλλά στην πραγματικότητα είναι επιδέξια εξέλιξις δια μέσου των αιώνων.

Λόγου χάριν, αν θα ήταν δυνατόν να ρωτήσετε έναν μη εξοικειωμένον με το σύγχρονο αριθμητικό μας σύστημα ποιο θα ήταν το υπόλοιπο αν το 5 αφηρείτο από το 155, προφανώς θα έλεγε 15. Μην εκπλήσσεσθε, ούτε να τον θεωρήτε αμαθή. Διότι σκεφθήτε: Μήπως δεν φαίνεται πράγματι, ότι αν αφαιρέσετε 5 από 155 θα μείνη υπόλοιπο μόνο 15;

Μήπως λέτε ότι η απάντησις θα έπρεπε να είναι 150; Πού βρήκατε όμως το 0; Γιατί μετατρέψατε ένα από τα 5άρια σε 0; Μήπως θα μπορούσε το 15 να είναι πράγματι η ορθή απάντησις; Τα «νέα μαθηματικά» προσπαθούν να δώσουν απάντησι σε τέτοιες βασικές ερωτήσεις, ώστε τα παιδιά ν’ αποκτήσουν πραγματική κατανόησι και όχι απλώς ν’ απαντούν σύμφωνα με τις υπαγορεύσεις των κανόνων.

Αν παρευρίσκετο σήμερα ένας αρχαίος Αιγύπτιος, προφανώς θα έδιδε το 15 ως απάντησι στο ανωτέρω πρόβλημα· και αναμφιβόλως θα ισχυρίζετο σθεναρώς ότι η απάντησίς του ήταν ορθή. Ξέρετε γιατί; Διότι οι Αιγύπτιοι και άλλοι αρχαίοι λαοί χρησιμοποιούσαν διαφορετικό αριθμητικό σύστημα. Αν αφαιρούσαν ένα ψηφίο (δηλαδή ένα σύμβολο που αντιπροσώπευε έναν αριθμό) από μια σειρά ψηφίων, το νέο ποσόν θα ήταν απλώς το σύνολον των υπολοίπων ψηφίων. Το ποσόν δεν εξηρτάτο από την σειρά με την οποίαν ετοποθετούντο τα ψηφία· αυτά διατηρούσαν τη σχετική τους αξία, οποιαδήποτε κι’ αν ήταν η θέσις τους.

Αυτό όμως δεν αληθεύει σήμερα. Διότι, το 155 δεν είναι το ίδιο με το 551. Γιατί τα 5άρια έχουν διαφορετική αξία που εξαρτάται από τη θέσι τους; Διότι σήμερα έχομε ένα αριθμητικό σύστημα διαφορετικό απ’ εκείνα των αρχαίων Αιγυπτίων, Ελλήνων και άλλων λαών. Είναι ένα σύστημα που δημιουργήθηκε από πολύ παλαιά, στο οποίο τα ψηφία έχουν διάφορες αξίες, αναλόγως της θέσεώς των. Τα «νέα μαθηματικά» εντυπώνουν στα παιδιά τον τρόπο της λειτουργίας αυτού του συστήματος θέσεως-αξίας.

Δεκαδικό Αριθμητικό Σύστημα

Σήμερα, το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιείται στα περισσότερα μέρη του κόσμου. Είναι ένα σύστημα που χρησιμοποιεί δέκα ψηφία, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Σ’ αυτό το σύστημα, κάθε θέσις έχει δεκαπλάσια αξία από την προς τα δεξιά της θέσι. Το ψηφίο που είναι στην πρώτη θέσι αντιπροσωπεύει έναν αριθμό ίσον προς τον εαυτό του. Τοιουτοτρόπως, το ψηφίο 5 αντιπροσωπεύει τον αριθμό 5. Αλλ’ αν το 5 βρίσκεται μια θέσι προς τ’ αριστερά της πρώτης θέσεως, αντιπροσωπεύει 5 δεκάδες, αν βρίσκεται δυο θέσεις προς τ’ αριστερά, 5 εκατοντάδες, αν τρεις θέσεις προς τ’ αριστερά, 5 χιλιάδες, και ούτω καθεξής.

Τα προγράμματα των «νέων μαθηματικών» προσπαθούν να καταδείξουν στα παιδιά την αξία των ψηφίων σύμφωνα με τη θέσι των. Έτσι, οι σπουδασταί μπορούν να διδαχθούν να κάνουν πρόσθεσι ως εξής:

5,555 = 5,000 + 500 + 50 + 5

2,222 = 2,000 + 200 + 20 + 2

7,000 + 700 + 70 + 7 = 7,777

Μπορούν επίσης να μάθουν ν’ αφαιρούν κάτι ως εξής:

346 = 300 + 40 + 6 = 300 + 30 + 16

239 = 200 + 30 + 9 = 200 + 30 + 9

100 + 00 + 7 = 107

Διάφορα Αριθμητικά Συστήματα

Το δεκαδικό σύστημα ονομάζεται αριθμητικό σύστημα δεκαδικής βάσεως. Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθή οποιαδήποτε άλλη αριθμητική βάσις. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα σύνθετο σύστημα με βάσι το εξήντα και οι Μάγια του Γιουκατάν μετρούσαν με βάσι το είκοσι. Σήμερα οι υπολογιστικές μηχανές χρησιμοποιούν σύστημα με βάσι το δύο. Τα «νέα μαθηματικά» εξοικειώνουν τα παιδιά με διάφορα αριθμητικά συστήματα. Ο σκοπός τούτου είναι να τα βοηθήσουν ν’ αποκτήσουν καλύτερη κατανόησι του γνωστού δεκαδικού συστήματος και της αριθμητικής εν γένει.

Το σύστημα με βάσι το πέντε είναι ίσως το ευκολώτερο από απόψεως εκμαθήσεως και είναι δυνατόν να διδαχθή σε μαθητάς της τετάρτης ή πέμπτης του δημοτικού σχολείου. Σ’ αυτό το σύστημα, που χρησιμοποιεί μόνο τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, κάθε θέσις έχει πενταπλάσια αξία από την προς τα δεξιά της θέσι. Έτσι, στον αριθμό 324, το πρώτο ψηφίο αντιπροσωπεύει τον εαυτό του, ή το 4. Το δεύτερο ψηφίο, αντί να αντιπροσωπεύη 2 δεκάδες όπως στο δεκαδικό σύστημα αντιπροσωπεύει 2 πεντάδες· και το τρίτο ψηφίο, αντί ν’ αντιπροσωπεύη 3 εκατοντάδες, αντιπροσωπεύει 3 εικοσιπεντάδες. Συνεπώς, το 324 στο πενταδικό σύστημα, είναι στην πραγματικότητα 89 κατά το με βάσι το δέκα σύστημα!

Το ίδιο αυτό υπόδειγμα ακολουθείται σε κάθε αριθμητικό σύστημα. Έτσι, στο εξαδικό σύστημα κάθε θέσις έχει εξαπλάσια αξία από την προς τα δεξιά της θέσι. Στο οκταδικό σύστημα κάθε θέσις έχει οκταπλάσια αξία από την προς τα δεξιά της θέσι. Σημειώστε την αξία του αριθμού 324 στα κατωτέρω αριθμητικά συστήματα, εν συγκρίσει προς την αξία του κατά το δεκαδικό σύστημα:

324 κατά το 5αδικό = 75 + 10 + 4 ή 89

324 κατά το 6αδικό = 108 + 12 + 4 ή 124

324 κατά το 8αδικό = 192 + 16 + 4 ή 212

Βλέπετε τώρα γιατί το παιδί σας μπορεί να πάρη «άριστα» αν θα γράψη 1 + 1 = 10; Στο δυαδικό σύστημα το αποτέλεσμα του 1 + 1 μπορεί να γραφή ως 10, διότι το 0 δεν αντιπροσωπεύει τίποτε, το δε 1 που βρίσκεται κατά μια θέσι αριστερά από το 0 αντιπροσωπεύει, όχι δέκα όπως θ’ αντιπροσώπευε κατά το δεκαδικό σύστημα αλλά μόνον δύο! Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μόνο τα δύο ψηφία, 0 και 1. Κάθε θέσις έχει διπλασία αξία από την προς τα δεξιά της θέσι. Συνεπώς, μήπως μπορείτε να δήτε γιατί το 111 κατά το δυαδικό αριθμητικό σύστημα ισοδυναμεί με το 7 κατά το δεκαδικό σύστημα; Και γιατί το 1111 ισοδυναμεί με το 15; Μήπως μπορείτε να λογαριάσετε: το 1010 κατά το δυαδικό σύστημα, με τι ισοδυναμεί κατά το δεκαδικό σύστημα;

Αλλά μπορεί να ρωτήσετε· «Πώς κάνει 8 + 6 = 2;» «Πώς μπορεί ένα παιδί να υπολογίζη σωστά δίδοντας μια τέτοια απάντησι;» Αυτό αποτελεί την ορθή απάντησι κατά το σύστημα συσχετισμού του δώδεκα.

Η αριθμητική συσχετισμού χρησιμοποιείται για να περιγράψη γεγονότα που εμφανίζονται κατά κανονικούς κύκλους. Ένας κοινός κύκλος, που εμφανίζεται δυο φορές την ημέρα σε εκατομμύρια σπίτια, είναι η διάβασις των δεικτών ενός ωρολογίου από τα ψηφία που αντιπροσωπεύουν τις ώρες της ημέρας. Ένα τυπικό πρόβλημα «νέων μαθηματικών,» που δίδεται στους μαθητάς της πέμπτης ή έκτης δημοτικού, είναι: «Αν τώρα η ώρα είναι οκτώ, τι θα είναι έπειτα από έξη ώρες;» Η απάντησις, παραβλέποντας το π.μ. και μ.μ., είναι 2 η ώρα. Συνεπώς 8 + 6 κάνει 2!

Έτσι, οι σπουδασταί των «νέων μαθηματικών» εισάγονται σε αντιλήψεις που αργότερα μπορεί να συναντήσουν σε μεγαλύτερους προβληματισμούς των. Η αριθμητική συσχετισμού, λόγου χάριν, χρησιμοποιείται για να περιγράψη τη λειτουργία ηλεκτρικών γεννητριών, και βενζινομηχανών με μαθηματικούς όρους. Ο επιδέξιος χειρισμός της είναι ουσιώδης για το έργο μερικών ατόμων.

Έννοια Σειράς

Στο κέντρον πολλών προγραμμάτων «νέων μαθηματικών» βρίσκεται η έννοια της σειράς, που διδάσκεται σε επίπεδο κάθε τάξεως. Είναι μια έννοια που κυριαρχεί σε τέτοιο βαθμό, ώστε διαποτίζει τα ανώτερα συγγράμματα μαθηματικών επιστημόνων, κι εν τούτοις μπορεί να χρησιμοποιηθή για να διδάξη αρχές αριθμητικής και στα πιο μικρά παιδιά.

Λόγου χάριν, σ’ ένα παιδί νηπιαγωγείου μπορεί να δειχθή μια εικόνα που περιέχει ομάδες από 3 πουλιά, 2 μπαλλόνια, 3 μήλα, 2 αγόρια, 3 ποδήλατα και 4 ζαχαρωτά, και να του ζητηθή να περικλείση σε κύκλο κάθε ομάδα που περιέχει 3 αντικείμενα. Μ’ αυτό τον τρόπο το παιδί μαθαίνει την ιδέα ενός αριθμού ως την κοινή ιδιότητα αυτών των ομάδων. Έπειτα, το παιδί μπορεί να προχωρήση περισσότερο για να συλλάβη την ιδέα των αριθμών που εκφράζονται με ψηφία.

Με το να εξοικειώνωνται με τον τρόπο λειτουργίας των ομάδων, τα παιδιά μαθαίνουν στοιχεία που είναι κοινά στην αριθμητική, στην άλγεβρα και στη γεωμετρία. Ελπίζεται ότι αυτό θα τα προετοιμάση να χειρίζωνται αργότερα πιο προχωρημένα μαθηματικά.

Εκτίμησις των «Νέων Μαθηματικών»

Πολλοί εκπαιδευταί είναι ενθουσιασμένοι με τα προγράμματα των «νέων μαθηματικών.» Έχουν τη γνώμη ότι οι σπουδασταί μαθαίνουν πολύ ταχύτερα. Ο Καθηγητής Ντέιβιντ Α. Πέιτζ, που εξέδωσε ένα νέο στοιχειώδες πρόγραμμα μαθηματικών, ισχυρίσθηκε: «Μπορώ τώρα σε μια ώρα να διδάξω σε μαθητάς τρίτης ή τετάρτης δημοτικού περισσότερα περί μαθηματικών λειτουργιών παρ’ ό,τι συνήθως μπορούσα να διδάξω πρωτοετείς φοιτητάς κολλεγίου σε δυο εβδομάδες.»

Αυτός όμως ο ενθουσιασμός για τα «νέα μαθηματικά» δεν εκδηλώνεται καθόλου απ’ όλους. Εκτός από τα θορυβώδη παράπονα που ακούσθηκαν από συγκεχυμένους γονείς, πολλοί καθηγηταί βρίσκονται σε αμηχανία. Ο Καθηγητής Ρόμπερ Βιρτζ, αφού επισκέφθηκε περισσότερα από εκατό σχολεία στοιχειώδους εκπαιδεύσεως των Ηνωμένων Πολιτειών, ανέφερε: «Οι καθηγηταί που βρήκα είναι φοβισμένοι. Δεν κατανοούν τα νέα μαθηματικά, ή γιατί πρέπει να τα διδάσκουν.»

Πολλοί μαθηματικοί επίσης πολύ απέχουν από του να είναι ικανοποιημένοι, περιλαμβανομένων και ατόμων που έχουν εργασθή πάνω στα νέα προγράμματα. Νομίζουν ότι μερικά από τα προγράμματα είναι πάρα πολύ παράξενα, πάρα πολύ αφηρημένα, και ότι αποτυγχάνουν να δώσουν αρκετή έμφασι στις εφαρμογές του καθημερινού βίου. Ένας από τους εξέχοντας σκαπανείς της μεταρρυθμίσεως, ο Μαξ Μπέμπερμαν, εξέφρασε φόβους ότι τα σύγχρονα μαθηματικά πιθανόν «να παραγάγουν μια γενεά παιδιών, που δεν μπορούν να κάμουν πράξεις υπολογιστικής αριθμητικής.»

Συνεπώς, τα προγράμματα των «νέων μαθηματικών» έχουν τα ελαττώματά τους. Ίσως ήταν το αίσθημα της επειγούσης ανάγκης να συμβαδίσουν με τα σοβιετικά διαστημικά επιτεύγματα, πράγμα που κατέληξε στην καθιέρωσι πολλών προγραμμάτων στο επίπεδο των σπουδαστών με μαθηματική εμπειρία, ενώ παρημελήθησαν οι εκπαιδευτικές ανάγκες άλλων. Επίσης, η έλλειψις καθηγητών, που να συλλαμβάνουν τις νέες αντιλήψεις αρκετά ώστε να τις διδάσκουν, υπήρξε ένα άλλο μειονέκτημα. Δεν πρέπει επίσης να υποτιμηθή ο τρόπος με τον οποίον τα «νέα μαθηματικά» συνέβαλαν στο χάσμα γενεάς σε πολλά σπίτια, υποβοηθώντας την αποξένωσι γονέων από τα τέκνα. Γι’ αυτό, ενώ προφανώς υπήρχε ανάγκη βελτιώσεων των προηγουμένων προγραμμάτων μαθηματικών, είναι αμφίβολον αν όλες οι αλλαγές που έγιναν υπήρξαν οι καλύτερες.